Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2014-02-13T04:09:43+04:00
Лучший Ответ!
2014-02-13T05:24:41+04:00
1.\\ a)\ \ 3\log_{2}( \frac{1}{8})+10^{\lg2+\lg5}=3\log_{2}(2^{-3})+10^{\lg(2*5)}=\\ =3*(-3)+10^{\log_{10}(10)}=-9+10^1=-9+10=1;\\ \\b)2\log_{3}(6)-\log_{3}(12)=\log_{3}(6^2)-\log_{3}(12)=\log_{3}( \frac{36}{12})=\log_{3}(3)=1;\\ \\c) \log_{\sqrt{2}}\{\log_{2}(3)*\log_{3}(4)\}=\log_{\sqrt{2}}\{\log_{2}(3)*\log_{3}(2^2)\}=\\ \\=\log_{\sqrt{2}}\{\log_{2}(3)*2*\log(_{3}(2)\}=\|\log_{2}(3)= \frac{\ln(3)}{\ln(2)}; \log_{3}(2)= \frac{\ln(2)}{\ln(3)};} \\ \ln(n)=\log_{e}(n);\\
де е=2,71821828... основа натурального логарифма
=\log_{\sqrt{2}}\{2*\log_{2}(3)*\log_{3}(2)\}=\log_{\sqrt{2}}\{2* \frac{\ln(3)}{\ln(2)}* \frac{\ln(2)}{\ln(3)}\}=\\ \log_{\sqrt{2}}\{2\}=\log_{\sqrt{2}}\{(\sqrt{2})^{2}\}=2*\log_{\sqrt{2}}\{\sqrt{2}\}=2*1=2;\\ \\2.\\ a)\ \ \log_{0,5}(x^{2}+x)=-1;\\ x^2+x>0;\ => \ x(x+1)>0; \left {{x<-1} \atop {x>0}} \right.;\\ \log_{0,5}(x^{2}+x)=-1;\ => \log_{0,5}(x^{2}+x})=-1\log_{0,5}(0,5);\\ \log_{0,5}(x^{2}+x)=\log_{0,5}(0,5^{-1});\ => \ x^2+x= \frac{1}{0,5} \\ x^2+x-2=0;\\ D=(1)^2-4*1*(-2)=1+8=9;\\ x_{1}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{D}}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{9}}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2;\\ x_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{D}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{9}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1;
обидва значення х входять в область визначення, тому х=-2, х=1;
 \\ \\ b) \ \ 2\log_{3}(x)=\log_{3}(2x^{2}-x)\\
визначемо облать визначення, як і в попередньому завданні, підлогарифмічний вираз має бути більше 0;
 \left \{ {{x>0} \atop {2x^{2}-x>0}} \right.=> \left \{ {{x>0} \atop {x(2x-1)>0}} \right. =>\\ \\ \\ => \left\{ {{x>0} \atop {2x(x- \frac{1}{2}) >0}} \right. => \left \{ {{x>0} \atop { \left [ {{x<0} \atop {x> \frac{1}{2} }} \right. }} \right. =>\ \ \ x> \frac{1}{2}\\ \log_{3}(x^{2})=\log_{3}(2x^{2}-x);\\ 3^{\log_{3}(x^{2})}=3^{\log_{3}(2x^{2}-x)};\\ x^2=2x^2-x;\\ x^2-x=0;\\ x(x-1)=0;\\ \left [ {{x=0} \atop {x=1}} \right. так як х>1/2, то відповідь х=1(х=0 не входить в область визначення)
\\ \\3.\\ a)\ \ \log_{7}(2-x) \leq \log_{7}(3x+6);\\ \left \{ {{2-x>0} \atop {3x+6}>0} \right. => \left \{ {{x<2} \atop {x>-2}} \right. => \ -2 -2
<2;><2;\\>тобто Відповідь:-2<x<2 або х∈(-2;2);
  \\ \\ b)\ \ \log_{ \frac{1}{2}}(x^{2}-4)>\log_{ \frac{1}{2}}(x+2) -1;\\
 \left \{ {{x^2-4>0,} \atop {x+2>0;}} \right.=> \left \{ {{(x-2)(x+2)>0} \atop {x>-2}} \right.=>\\ \\ \\ => \left \{ {{ \left [ {{x<-2} \atop {x>2}} \right. } \atop {x>-2}} \right.=> x>2;\\ \log_{ \frac{1}{2}}(x^{2}-4)>\log_{ \frac{1}{2}}(x+2) +\log_{ \frac{1}{2}}(( \frac{1}{2})^{-1}) ;\\ \log_{ \frac{1}{2}}(x^{2}-4)>\log_{ \frac{1}{2}}(x+2) +\log_{ \frac{1}{2}} (2) ;\\ \log_{ \frac{1}{2}}(x^{2}-4)>\log_{ \frac{1}{2}}((x+2)*2);\\ \log_{ \frac{1}{2}}(x^{2}-4)>\log_{ \frac{1}{2}}(2x+4);\\
Оскільки основа логарифму 0<1/2<1, то підлогарифмічні функції матимуть протилежний знак, ніж сама нерівність логарифмів
бо при потенціюванні,  (\frac{1}{2})^x  буде більшою при меншому значенні х;
\log_{ \frac{1}{2}}(x^{2}-4)>\log_{ \frac{1}{2}}(2x+4);\\ ( \frac{1}{2} )^{\log_{ \frac{1}{2}}(x^{2}-4)}>( \frac{1}{2} )^{\log_{ \frac{1}{2}}(2x+4)};\\ (x^{2}-4)<(2x+4);\\ x^2-2x-8<0;
розв'яжемо нерівність:
x^2-2x-8<0;\\ x^2-2x-8=0;\\ D=(-2)^2-4*1*(-8)=4+32=36;\\ x_{1}=- \frac{-2}{2}- \frac{ \sqrt{D} }{2}=1- \frac{ \sqrt{36} }{2}=1- \frac{6}{2}=1-3=-2;\\ x_{2}=- \frac{-2}{2}+ \frac{ \sqrt{D} }{2}=1+ \frac{ \sqrt{36} }{2}=1+ \frac{6}{2}=1+3=4;\\ x^2-2x-8<0;=>(x+2)( x-4)<0;\\ \left \{ {{x>2} \atop { \left [ {{x>-2} \atop {x<4}} \right. }} \right.=> \left \{ {{x>2} \atop {x<4}} \right.=> 2
Відповідь: 2<x<4 => x∈(2;4).от так от