Сколько сторон у многоугольника если в нем можно провести 65 диагоналей

1

Ответы и объяснения

2014-02-09T09:08:45+00:00
Обозначим число сторон через N. Число вершин тоже будет равно N. N точек можно соединить N*(N-1)/2 отрезками (каждую точку из N можно соединить с N-1 точками, делим на 2, потому что иначе отрезки будут посчитаны ДВАЖДЫ) . Но N из этих отрезков являются СТОРОНАМИ. Имеем уравнение:
N*(N-1)/2-N=65
Умножаем обе части на два
N^2-N-2N=130
Приводим подобные, переносим все члены уравнения влево, получаем квадратное уравнение:
N^2-3*N-130=0
Решаем (можно решать и как приведенное, дело вкуса) :
N1,2=(3+/-sqrt(9+520)/2=(3+/-23)/2
N1=13
N2=-10 - посторонний корень, число сторон не может быть отрицательным
Ответ: 13 сторон