Столяр от пятиметровой доски отпилил 5 одинаковых заготовок, а от двадцатипятиметровой доски - 31 такую же заготовку.В результате у него от первой доски осталось столько целых м, сколько от второй целых сантиметров, и наоборот - сколько от первой целых сантиметров, столько от второй целых метров. Сколько сантиметров была каждая заготовка?

1

Ответы и объяснения

2012-03-19T00:32:45+04:00

x - длина заготовки в см

n - осталось целых м от 1-й доски (а было всего 5 => n < 5 (*))

n - осталось целых см от 2-й доски

m - осталось целых см от 1-й доски

m - осталось целых м от 2-й доски

 

Тогда из условия задачи получим, что

 

500 - 5x = 100n + m          (A)

2500 - 31x = n + 100m      (B)

 

Из (А) и (B) нам нужно найти целые значения x при целых n и m.  

 

Из (А) следует, что m должно делиться на 5 (C) Из (B) следует, что n + 31х должно делиться на 100 (D)

 

Умножим (A) на 5 и вычтем из этого выражения (B). Получим 6x = 499n - 95m (**) = 83*6n + n - 16*6m + m => n + m должно делиться на 6 (E) , а также 499n - 95m > 0 => m < 499n/95 (F)

 

x = (499n - 95m)/6 (***)

 

Из условия (*) следует, что мы можем последовательно решать (А) и (B) для n = 0,1,2,3 и 4.

 

1) n=0: Из (**) следует 6x = -95m < 0 - противоречие => нет решения при n=0

 

2) n=1: Из (F) следует m < 5,3 => m=0,1,2,3,4,5. Из (E) получим m=5. Из (***) получим x=4. Но (D) не выполняется (1 + 31*4 = 125 не делится на 100) => нет решения при n=1

 

3) n=2: Из (F) следует m < 10,5 => m=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Из (E) получим m=4 или 10. Из (***) получим x=103 или 8. Но (D) не выполняется (2 + 31*103 = 3195 не делится на 100 и 2 + 31*8 = 250 не делится на 100) => нет решения при n=2

 

4) n=3: Из (F) следует m < 15,7 => m=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15. Из (E) получим m=3 или 9 или 15. Из (***) получим x=202 или 107 или 12. Но (D) не выполняется для этих x => нет решения при n=3

 

5) n=4: Из (F) следует m < 21,01 => m=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21. Из (E) получим m=2 или 8 или 14 или 20. Из (***) получим x=301 или 206 или 111 или 16. Но (D) выполняется только для x=16 (4 + 31*16 = 500 делится на 100) => решение при n=4: x=16

 

Проверим исходные уравнения (A) и (B) при x=16, n=4 и m=20:

 

500 - 5*16 = 100*4 + 20     (A) 2500 - 31*16 = 4 + 100*20 (B)

 

Убеждаемся, что (A) и (B) выполняются.

 

Следовательно, х = 16 и есть единственно возможное решение.

 

Ответ: длина каждой заготовки составляет 16 см.