Докажите,что разность квадратов двух последовательных четных чисел не делится на степень 2,большую,чем 2 во второй степе

1
Вопросы, вопросики?! ;)
??
Здравствуйте. Если возникают вопросы по поводу решения, прошу задавать их в комментариях к решению.
ну у меня есть вопрос
Тогда стоит задать его в комментариях к решению.

Ответы и объяснения

  • Voxman
  • главный мозг
2014-02-06T16:46:46+00:00
n_1 = 2m, \ n_2 = 2(m + 1)\\\\
n_2^2 - n_1^2 = 4(m+1)^2 - 4m^2 = 4(m^2 + 2m + 1) - 4m^2 = 4(2m + 1)

Число 2m + 1 нечетное, а значит оно не делится на степень двойки.
Теперь можно от противного предположить, пусть число делиться на 2^n, n > 2. Тогда оно равно 2^n*с (где с - натуральное или целое, как вам удобней рассуждать). Но 2^n*c = 4*(2m + 1), сократим запись на четыре. 2^{n - 2}*c = (2m + 1). Так как левая часть делиться на два, то должна делиться и правая. Но это невозможно, ибо в правой части нечетное число. Доказано от противного.