В треугольник со стороной а и высотой h, проведенной к этой стороне, вписан прямоугольник таким образом что одна из его сторон содержится стороной а треугольника. найдите максимальную площадь прямоугольника. это надо сделать с помощью функций и производных!

1

Ответы и объяснения

2014-02-05T18:11:33+00:00
 S_{Δ} =  \frac{ah}{2}
пусть х = длина прямоугольника, лежащая на стороне треугольника
         у = высота прямоугольника
Прямоугольник разбивает треугольник на 3 треугольника и прямоугольник. Поэтому можно площадь собрать из площадей этих фигур.
 S_{Δ} = xy +  \frac{x(h-y)}{2} +  \frac{(a-x)y}{2} =  \frac{xh +ay}{2}
если приравнять обе площади, то получим равнство
ah = xh + ay  ⇒  x =  \frac{a(h-y)}{h}
Тогда площадь прямоугольника S = xy
S =  \frac{a}{h} (h-y)y
S ' =  \frac{a}{h} (h-2y)
S ' = 0   \frac{a}{h} (h-2y)=0   ⇒ y = h/2  точка максимума
S(h/2) =  \frac{a}{h} (h- \frac{h}{2} )* \frac{h}{2} =  \frac{ah}{4}
Это и есть наибольшее значение площади