Помогите пожалуйста!! а) Решите уравнение 14^sinx = 0,5^cosx * 7^sinx б) найдите корни,которые принадлежат отрезку [-4пи; -5пи/2]

1

Ответы и объяснения

2014-02-03T12:54:18+00:00
1. Распишем левую часть: 14^sinx = (2*7)^sinx = 2^sinx * 7^sinx
2. Сокращаем слева и справа 7^sinx. Строго говоря, при сокращении может потеряться корень, но 7 в любой степени не может быть нулём, поэтому, в нашем случае - не потеряется.
3. Остаётся у нас 2^sinx = 0,5^cosx. Представляем правую часть как (1/2)^cosx = 2^(-cosx)
4. Получилось уравнение 2^sinx = 2^(-cosx). Приравниваем степени двойки: sinx=-cosx, то есть синус и косинус равны по модулю, но противоположны по знаку. Легко заметить (например, с помощью единичной окружности), что решением такого уравнения будет: х=3/4*П+П*N, где N - целое число.
Это был ответ на а). Теперь посмотрим, какие корни лежат в заданном интервале - он отрицательный, поэтому и решение уравнения надо записать в чуть изменённом виде: х=3/4*П-П*N. Посмотрим при разных N:
N=1: х=-П/4 - не входит в отрезок
N=2: х=-5П/4 - не входит в отрезок 
N=3: х=-9П/4 - не входит в отрезок
N=4: х=-13П/4 - входит в отрезок
N=5: х=-17П/4 - не входит в отрезок.
Таким образом, заданному отрезку принадлежит только один корень х=-13П/4