Найти наименьшие значение х, удовлетворяющее уравнению

1
Что-то с LaTeX не то, не могу формулы записать...
Разобрался, формулы пришлось укоротить. Там где было |x -1| + |x+1| + |x -2| + |x + 2| + ... + |x - 10| + |x + 10| = 20x, осталось |x -1| + |x+1| + ... + |x - 10| + |x + 10| = 20x
Если будут какие-то вопросы... задавайте.
хорошо, спасибо)

Ответы и объяснения

  • Voxman
  • главный мозг
2014-01-30T10:13:22+00:00
|x-1| + |x+1| +...+|x-10|+|x+10| = 20x\\\\f(x) = |x-1| + |x+1| +...+|x-10|+|x+10| - 20x\\\\
(|x-1| + |x+1| - 2x) + ... + (|x-10| + |x+10| - 2x) = 0\\\\
x \geq 1, \ |x-1| + |x+1| - 2x = x -1 + x + 1 - 2x = 0;\\\\
x \geq 2, \ |x-2| + |x+2| - 2x = 0;\\\\
...\\\\
x \geq 10, \ |x-10| + |x+10| - 2x = 0;\\\\
x \geq 10, \ f(x) = 0\\\\
\boxed{x = 10}

Рассматривать значения меньше десяти не имеет смысла (а меньше нуля и подавно), это можно понять из следующего:

a > 0, \ -a < x < a:\\\\&#10; |x-a| + |x+a| - 2x = -(x-a) + (x+a) - 2x = 2a - 2x > 0\\\\&#10;a > 0, \ x \leq -a:\\\\&#10; |x-a| + |x+a| - 2x = -(x-a)  - (x + a) - 2x = -4x > 0

Таким образом, при значении переменной меньше десяти, хотя бы одно из слагаемых будет больше нуля (а отрицательными, слагаемые такого вида, не бывают), значит и сумма будет отлична от нуля. Т.е. такое значение переменной не удовлетворяет уравнению.