Помогите, пожалуйста,уже всю голову сломала))) Диаметры оснований усеченного конуса равны 4 и 6. Найдите объем шара, вписанного в усеченный конус.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-03-07T19:53:08+00:00

V=\frac{4}{3}piR^{3}

 

Рассмотрим усеченный конус в продольном сечении. Это равнобедренная трапеция с основаниями AD=b=6 см и BC=a=4 см.

В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:AB+DC= AD+BC или 2a= b+c

Бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора: 

 

 BC= a= \sqrt{h^{2}+(\frac{c-b}{2})^{2}

 

Зная, что 2a= b+c, получаем:

 

b+c=2\sqrt{h^{2}+(\frac{c-b}{2})^{2}

 

Упростив выражение получим:  

 

h=\sqrt{(\frac{c+b}{2})^{2}-(\frac{c-b}{2})^{2} 

 

h=\frac{1}{2}\sqrt{({c+b})^{2}-({c-b})^{2}

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

 

h=\sqrt{bc} 

 

h=√(4*6)=√24=2√6

Радиус вписанной окружности равен половине высоты, т.к. центр окружности равноудален от точек кассания со сторонами/основаниями трапеции.

 

r=½h=½*2√6=√6

 

Радиус рассмотренной окружности и будет радиусом шара

 

V=\frac{4}{3}piR^{3}  

 

V=\frac{4}{3}pi(\sqrt{6})^{3}

 

V=\frac{4}{3}pi6\sqrt{6}=8pi\sqrt{6}

 

Ответ:  V=8pi\sqrt{6}