Ответы и объяснения

2014-01-24T11:06:36+00:00
Это разновидность предела  \lim_{x \to 0}  \frac{Sin(x)}{x} =1
В основном - решаются такие пределы приведением выражения к форме  \frac{Sin(g(x))}{g(x)} с условием g(x) \to0 и непрерывности на области (-\delta,\delta) /\ \{0\}

Теперь, по заданию:
 \frac{Sin \frac{x}{5}*Cos2x }{x} = \frac{5}{5}  \frac{Sin \frac{x}{5}*Cos2x }{x}= \frac{Sin \frac{x}{5} }{ \frac{x}{5} }* \frac{Cos2x}{5}
  \lim_{x \to 0}  \frac{x}{5}=0 =>  \lim_{x \to 0} \frac{Sin \frac{x}{5} }{ \frac{x}{5} }=1\\ \lim_{x \to 0}  \frac{Cos2x}{5} = \frac{1}{5}\\
=> \lim_{x \to 0}  \frac{Sin \frac{x}{5} }{ \frac{x}{5} }\frac{Cos2x}{5}=\frac{1}{5}
Функция Cos2x непрерывна на области нуля, следовательно предел при x \to 0 будет Cos0.
Предел по синусу описал выше.
Оба предела определены и являются действительными, следовательно условия арифметики пределов выполняются, потому (из арифметики пределов) предел умножения равен умножению пределов.