Ответы и объяснения

2014-01-22T16:48:04+00:00
Пример 1. Решить уравнениеРешение. Рассмотрим первый случай , то есть  (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид , его решение . Это решение удовлетворяет условию . Таким образом,  — корень исходного уравнения.Во втором случае , то есть . В этом случае уравнение преобразуется к виду , его решение . Этот корень не удовлетворяет условию , таким образом,  не является корнем исходного уравнения.Ответ. .Пример 2. Решить уравнениеРешение. Сначала найдем корни уравнения . Это . Следовательно, условие  выполняется при  и при , а условие  — при . Рассмотрим два случая:1) .Исходное уравнение на этом множестве имеет вид .Его корни . Из них только  попадает под наш случай. Докажем это:Так как , то , и, действительно, . Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):Так как , последнее неравенство также выполняется, и корень  — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств следует, что  является корнем уравнения.2) .В этом случае , и от исходного уравнения мы переходим к уравнению . Решения этого уравнения:  и . Из них только число  попадает на указанный промежуток:корень  — посторонний.Ответ. .Замечание. Здесь описан стандартный прием, всегда приводящий к цели. Однако, как мне совершенно справедливо указали в комментариях Nynko и Талгат, существуют и более простые способы решения данного примера.Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем : и .Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом , что намного проще.Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.Пример 3. Решить уравнениеРешение. Корни выражений, стоящих под модулем, —  и . Числовая ось разбивается точками  и  на три промежутка, изображенных на рис. 12: