В равнобедренном треугольнике AВС c основанием АС проведены медианы АЕ и СD.Докажите, что ΔАВС=ΔСВD

1

Ответы и объяснения

2014-01-20T17:54:43+04:00
а) Треугольник ABE= треугольнику CBD 
Доказательство: 
АВ = ВС так как треугольник АВС - равнобедренный по условию 
< ABE = < CBE (это один и тот же угол) 
Медиана делит противополжную сторону пополам, а значит в равнобедренном треугольнике ABC медианы AE и CD делят стороны АВ и ВС на четыре равных отрезка. Отсюда BE= BD. 
Следовательно треугольник ABE = треугольнику CBD по двум сторонам и углом между ними. 

б) Треугольник DOE и треугольник AOC равнобедренные 
Доказательство: 
Медианы, высоты и биссектрисы проведенные с углов основания в равнобедренном треугольнике равны между собой. Медианы в точке пересечения делятся на отрезки в отношении 2:1 начиная от угла. А значит при любой длине медиан АО/ОЕ = СО/OD = 2/1. Отсюда АО = СО; ОЕ = OD следовательно треугольник DOE и треугольник AOC равнобедренные 

в) DB-биссектриса угла DOE 
Вот здесь по идее условие неверно. Должно быть ОB-биссектриса угла DOE. 
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Медианы AE и CD равны, а значит что точка их пересечения лежит на высоте треугольника АВС. Следовательно ОВ совпадает с биссектрисой, медианой, высотой АВС. DE || AC (средняя линия АВС) , значит OB перпендикуляр DE. Отсюда ОВ - биссектриса угла DOE