В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД сторона основания равна 4√3 см , а боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Найдите объем пирамиды и площадь боковой поверхности.


Заранее большое спасибо

1

Ответы и объяснения

2014-01-16T18:35:33+00:00
Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, в основании квадрат со стороной 4√3 см. Угол МАС=60 градусов.
Рассмотрим треугольник ADC-прямоугольный.
AC^{2} =  AD^{2} +  CD^{2}
 AC^{2} =  (4\sqrt{3} )^{2} + (4\sqrt{3} )^{2}AC = 4 \sqrt{6}
Проведем высоту пирамиды МО.
AO =  \frac{AC}{2}
AO=2 \sqrt{6}
Угол AMO=30 градусов (т.к. 180-90-60=30). Катет, лежащий напротив угла в 30 гр., равен половине гипотенузы.
АМ = 2АО
AM=4 \sqrt{6}
Рассмотрим треугольник АОМ-прямоугольный.
MO= \sqrt{ AM^{2}- AO^{2}  }
MO=6 \sqrt{2}
Площадь основания: S= AB^{2} =48
Объем пирамиды: V =  \frac{1}{3} * S * h
V= \frac{1}{3} *48*6 \sqrt{2} =96 \sqrt{2}

Проведем из т.О перпендикуляр ОК к стороне AD.
Рассмотрим треугольник КОМ-прямоугольный.
OK= \frac{1}{2} CD
OK=2 \sqrt{3} MO=6 \sqrt{2}
MK =  \sqrt{ (2 \sqrt{3}) ^{2}+ (6 \sqrt{2}) ^{2}  } = \sqrt{84}
S (AMD) =  \frac{1}{2} * MK*AD
S= \frac{1}{2} *4 \sqrt{3} * \sqrt{84} =12 \sqrt{7}
Площадь боковой поверхности:S = 12 \sqrt{7} *4 = 48 \sqrt{7}