Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-02-23T03:26:43+00:00

ОДЗ исходного уравнения: sinx=0, отсюда найдем те значения x, при которых исходное уравнение теряет смысл:

               x=\pi*k,-------(1)

           где k - целое число

         ctgx принимает только неотрицательные значения, т.к. cos2x больше либо равно -1

Воспользуемся формулой половинного угла:

         (1+cos2x)=2cos^{2}x -----(2)

Подставим в исходное уравнение вместо(1+cos2x) правую часть выражения (2), получим равносильное уравнение:

4cos^{2}x=\sqrt{3}ctgx, отсюда, учитывая, что ctgx=\frac{cosx}{sinx}     4cos^{2}x - \sqrt{3}\frac{cosx}{sinx}=0

    Вынося общий множитель за скобки, получим уравнение равносильное исходному:

      cosx(4cosx - \sqrt{3}\frac{1}{sinx}=0-----(3)

Уравнение (3)  при этом распадается на два уравнения ( что следует из свойств произведения):

 а) cosx=0;  б)  4cosx - \sqrt{3}\frac{1}{sinx}=0   

 

Решение уравнения а) cosx=0, отсюда находим решение:

            x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, где n - целое число

 

Решение уравнения б) 4cosx - \sqrt{3}\frac{1}{sinx}=0, приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

 \frac{4cosxsinx-\sqrt{3}}{sinx}=0, т.к. sinx\neq0, то 

       4cosxsinx-\sqrt{3}=0, или 

         sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}---------(4) 

 

где мы учли, что 2cosxsinx=sin2x 

     Из (4) найдем решение: 

     2x=(-1)^{m}*\frac{\pi}{3}+\pi*m, где мы учли ОДЗ 

  

  x=(-1)^{m}*\frac{\pi}{6}+\frac{\pi*m}{2}, где m - целое число

 

Поскольку решения а) и б) удовлетворяют ОДЗ, то решение исходного уравнения есть две серии:

    x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, где n - целое число

 x=(-1)^{m}*\frac{\pi}{6}+\frac{\pi*m}{2}, где m - целое число