Ответы и объяснения

2012-02-22T01:17:07+00:00

Решение первого уравнения. Представим наше уравнение в виде:

  sinx=1+cosx --------(1)

Правую часть уравнения (1) с помощью формулы половинного угла представим в виде:     2cos^{2}(\frac{x}{2})=1+cosx --------(2)

 Правые части равенств (1) и (2) равны, а, значит, равны их левые части:

                       sinx=2cos^{2}(\frac{x}{2}) ------(3)

Представим левую часть уравнения (3) с помощью формулы половинного угла в виде:        sinx=2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}) ------(4)

  Левые части равенств (3) и (4) равны, поэтому равны их правые части:

      2cos^{2}(\frac{x}{2})=2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}), отсюда

       cos(\frac{x}{2})[cos(\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2})]=0 -----(5)

 Из уравнения (5) следует:

    а)  cos(\frac{x}{2})=0 ; б)  cos(\frac{x}{2})=sin(\frac{x}{2}) 

 

а) cos(\frac{x}{2})=0, отсюда \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi*n , или   x=\pi+2\pi*n , где n - из множества целых чисел

 

 б)  cos(\frac{x}{2})=sin(\frac{x}{2})------(б)

Разделим обе части уравнения (б) на sin(\frac{x}{2}), что можно сделать, т.к. корни уравнения sin(\frac{x}{2})=0 не являются корнями уравнения (б). Итак, получим:

      ctg(\frac{x}{2})=1, найдем соответствующие значения x 

          \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi*m 

или  x=\frac{\pi}{2}+2\pi*m,

        где m - из множества целых чисел