Только пожалуйста не надо писать, что ответ "1", я это итак знаю, на калькуляторе сосчитал. Мне нужен путь решения с упрощением выражения. Спасибо!

1
Комментарий удален
Если это выражение возвести в куб, то получится еще более сложное выражение. Произведение равно 1, ну и что?
Комментарий удален
Пробовал- не получается: и сумму кубов и сумму кубических корней,- везде зарываюсь, всё какая-то безысходность или тупик получается. А ты сам-то пробовал?

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
  • Участник Знаний
2013-12-30T18:56:32+00:00
Ну, гляди.
Пусть a=2+sqrt(5)    b=2-sqrt(5)
Понятно, что
а+b = 4
a*b = -1
Возведём исходное выражение в куб
(а^1/3 + b^1/3)^3 = (a+b) + 3(a*b)^1/3 *(a^1/3 + b^1/3) = 4 - 3*(a^1/3 + b^1/3)
то есть наше исходное выражение является корнем уравнения
x^3 = 4 - 3*x
x^3 + 3*x - 4 =0
Понятно, что x=1 является корнем этого уравнения.
Докажем что других действительных корней нет.
Разделим на (х-1), получим
x^2 + x + 4 = 0
это уравнение не имеет действительных корней.
Всё! 
Значит, исходное выражение = 1.
Успехов!
С Новым Годом!

PS Как ты и просил, я привёл решение с минимумом выкладок и вычислений, просто логика.