а) Решить уравнение cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}=sin(\frac{\pi}{2}-2x)

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [\pi; \frac{5\pi}{2}]

1

Ответы и объяснения

2012-02-18T06:50:23+00:00

a) cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}=sin(\frac{\pi}{2}-2x)

cosx=sin(\frac{\pi}{2}-2x) 

cosx=cos2x

2cos^2x-cosx-1=0 

Замена t=cosx, -1\leq{t}\leq{1} 

2t^2-t-1=0 

D=1+8=9

t_1=1 

t_2=-\frac{1}{2}

Тогда x=\frac{\pi}{2}+2\pi n или чx=(1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n

б)  \pi \leq\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq\frac{5\pi}{2}

\frac{\pi}{2} \leq2\pi n\leq{2\pi} 

\frac{1}{4} \leq{ n}\leq{1}

n=1 тогда x=\frac{5\pi}{2} 

 

 \pi \leq{(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n}\leq{\frac{5\pi}{2}}

n=1  тогда x=\frac{7\pi}{6} 

 n=2  тогда x=\frac{11\pi}{6}