Ответы и объяснения

2013-12-22T12:31:52+00:00
Знак радикала sqrt(a) используется только для арифметического корня,
то есть для неотрицательного действительного корня уравнения x²=a
Такой корень существует только при a≥0, поэтому корень извлекается только из неотрицательных чисел
Итог: и подкоренное выражение и сам корень — неотрицательные числа.

По поводу свойства с модулем:
Вот его запись
sqrt(x²) = |x|
|x| — это конкретное число, а не набор чисел
модуль числа — это само это число, но без знака
|2| = 2, |-2| = 2 (модуль минус двух тоже равен двум)
поэтому sqrt(4) = |2| = 2 и в то же время sqrt(4) = |-2| = 2
Итог: ни логической, ни математической ошибки здесь нет

по поводу выноса знака минус
есть такие свойство |a| = |-a|, (-a)²=a²
из обоих этих свойств следует свойство
sqrt((-a)²)= sqrt(a²)

но неверным будет думать, что
sqrt(-a²) = sqrt(a²)
sqrt(-5) ≠ sqrt(5)
в действительных числах корень из -5 вообще не извлекается

по поводу уничтожения знака
sqrt(x²)=|x| — это общее правило
но иногда нам что-то известно про выражение x, что позволяет нам установить его знак
например
sqrt((5t²+1)²)=|5t²+1|
При любых действительных значениях t, выражение под модулем будет положительным, а это значит, что знака у него и так нет, то есть модуль можно просто снять
|5t²+1|=5t²+1

может быть и противоположный случай
sqrt((6t-t²-10)²)=|6t-t²-10|
выражение 6t-t²-10=-1-(t²-6t+9)=-1-(t-3)² отрицательно при любых t, поэтому его знак — всегда минус, поэтому, чтобы убрать этот знак, нужно поменять знаки перед всеми слагаемыми (если x < 0, то |x| = -x)
|6t-t²-10|=t²-6t+10
иногда информацию о том, какие значения может принимать подмодульное выражение, мы берём не из вида самого выражения, а из самого условия (например, в условии сказано, что t > 5 или что-то подобное)