Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках K ,L , сторону BC — в точках M , N, стоpону AC — в точках R,S . Известно, что KL=MN=RS=6 ,AB=12 ,BC=16 , угол В=90*. Найдите радиус окружности.

1

Ответы и объяснения

2013-12-22T11:28:15+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Найдем длины отрезков BL;MB;AS;AK;CR;CN , по теореме о секущей 
BL(BL+6)=BM(BM+6)\\
AK(AK+6)=AS(AS+6)\\
CN(CN+6)=CR(CR+6)


это же соотношение можно записать в виде 
(6-BL)(12-BL)=AS(AS+6)\\
(10-BM)(16-BM)=(12-AS)(20-AS)\\
BL(BL+6)=BM(BM+6)
Решим систему , сделаем замену для  удобство 
BL=x\\
BM=y\\
AS=z\\
\\
(6-x)(12-x)=z(z+6)\\
(10-y)(16-y)=(12-z)(20-z)\\
x(x+6)=y(y+6)

x(x+6)=y(y+6)\\
(6-x)(12-x)=z*(20+z)\\
(10-y)(16-y)=(14-z)(20-z)\\
\\
x^2-y^2=6y-6x\\
-z^2-20z+x^2-18x+72=0\\
(4+y-z)(z+y-30)=0



подходит вариант 
z+y=30
подставляя получаем уравнение 
x^2-y^2=6y-6x\\
-(30-y)^2-20(30-y)+x^2-18x+72=0 \\
\\



решая обычным способом получаем решения 
 x=y = \frac{737}{31}\\
z=\frac{216}{31}\\
\\


Теперь впишем наш треугольник на плоскость   Oxy , так что бы угол 90а совпадал с началом координат , тогда как показана на рисунку получим 
BL=BM=\frac{737}{31}\\

AS=\frac{216}{31} 

M(\frac{737}{31}; 0)\\
L(0; \frac{737}{31})\\
N(\frac{923}{31};0)\\
K(0;\frac{923}{31})
\\

пусть центр радиус координаты с точками  x;y то 
x^2+(y-(737/31))^2=x^2+(y-(923/31))^2 \\
y=26\frac{24}{31}\\
x=26\frac{24}{31}\\
R=\sqrt{(26\frac{24}{31})^2+(26\frac{24}{31}-\frac{737}{31})^2}