Интегралы. Подскажите пожалуйста как решить данные интегралы методом подведения под знак интеграла.1.  \int\limits\sqrt{cos x} * sin x dx2.  \int\limits \frac{e^{arcsin x}}{ \sqrt{1-x^2}} 3.  \int\limits { \frac{x^2dx}{ \sqrt{x^6-2} } }Заранее благодарю.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-12-21T13:23:51+00:00

1) Т к  d(cosx)=-sinxdx,  то  \int\limits { \sqrt{cosx}*sinx } \, dx=-\int\limits { \sqrt{cosx}} \, d(cosx)=
=- \frac{cos^{ \frac{3}{2}}x}{ \frac{3}{2}}+C=- \frac{2}{3}cosx\sqrt{cosx}+C
2)  Т к  d(arcsinx)= \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}dx,  то 
 \int\limits { \frac{e^{arcsinx}}{ \sqrt{1-x^2}}} \, dx= \int\limits {e^{arcsinx}} \, d(arcsinx)=e^{arcsinx}+C
3)  Т к  d(x^3)=3x^2dx,  то   \int\limits { \frac{x^2}{ \sqrt{x^6-2} } } \, dx=\frac{1}{3}\int\limits { \frac{3x^2}{ \sqrt{x^6-2} } } \, d(x^3)=\frac{1}{3}\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{(x^6-2} } } \, d(x^3)
Подстановка  \sqrt{x^6-2}=x^3-t; (\sqrt{x^6-2})^2=(x^3-t)^2;
x^6-2=x^6-2x^3t+t^2;2x^3t=t^2+2;x^3= \frac{t^2+2}{2t};
d(x^3)= \frac{2t*2t-2(t^2+2)}{4t^2}dt= \frac{t^2-2}{2t^2}dt;
\sqrt{x^6-2}= \frac{t^2+2}{2t}-t= \frac{2-t^2}{2t};
\frac{1}{3}\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{x^6-2} } } \, d(x^3) =\frac{1}{3}\int\limits { \frac{(t^2-2)2t}{2t^2 (2-t^2) } } \, dt =-\frac{1}{3}\int\limits { \frac{1}{t } } \, dt =-\frac{1}{3}lnt+C
t=x^3- \sqrt{x^6-2};   \int\limits { \frac{x^2}{ \sqrt{x^6-2} } } \, dx=-\frac{1}{3}lnt+C=-\frac{1}{3}ln|x^3- \sqrt{x^6-2}|+C