Есть три простых числа, такие, что Есть три простых числа, такие, что разности между вторым и первым и между третьим и вторым равны 2,-это 3, 5 и 7 Есть ли ещё одна такая тройка простых чисел? Пожалуйста помогите, заранее спасибо!!!!!

2

Ответы и объяснения

  • Bernard14
  • почетный грамотей
2013-12-05T07:31:24+00:00
Попробуем так
Рассмотрим тройку чисел 3, 5 и 7
Пусть первое Х1=х, второе Х2=х+2 и третье Х3=х +4, где в нашем случае х=3
Тогда сумма 3х+6=15, при х =3.
Отлично.
Что мы видим из этого уравнения. Что сумма чисел – это нечетное число.
Ну это и логично, так как простые числа не могут быть четными, тогда бы они делились на 2. И сумма трех нечетных чисел- есть число нечетное. И кстати, эта сумма делится на 3. так как 3*(х+2)=15
Теперь попробуем найти все варианты х когда получится такая тройка чисел. Сразу заметим что искать среди четных нельзя, тогда сумма получится четным. Хорошо тогда, какие х среди нечетных нам подходят?

Рассмотрим нечетные числа, кандидаты на х. 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 и т.д Тройку мы рассматривать не будем, так как она дана в качестве примера.

Мы замечаем, что число 9 не подходит так как оно кратно 3, и далее через 2 числа идут числа кратные 3 : 15, 21, 27. Ну это и так понятно почему, так как 9+6 есть число кратное 3. Итак, будет для всех чисел А= 3+6*n, где n {0,1,2,3 ….}.
  Вычеркиваем эти числа.

Но теперь заметим, что если мы выберем себе в качестве х , т.е. первого числа, выберем число, которое идет следующее за нечетным числом кратным 3. Это числа Б= 3 +2 + 6*n, где n {0,1,2,3 ….}.
Тогда Х1=3 +2 + 6*n, Х2=(3 +2 + 6*n) +2, Х3=(3 +2 + 6*n) +4,

но Х3=3+2+4+6n=6+6n=6*(1+n)=3*2*(1+n)

Но такое число снова кратно 3!!! Опять не подходит.  

Остался последний случай.
Возьмем в качестве х, числа С= 3+4+6*n, где n {0,1,2,3 ….}.

Тогда Х1=3 +4 + 6*n, Х2=(3 +4 + 6*n) +2, Х3=(3 +4 + 6*n) +4,

но Х2=3+4+2+6n=6+6n=6*(1+n)=3*2*(1+n)

Но такое число снова кратно 3!!! Опять не подходит.  

Итак мы доказали, что среди всех нечетных чисел начинающихся от 5 и далее, не будет такой тройки чисел.   Можно было бы сказать что таких чисел больше нет.
Но если вы внимательно это прочитали, то наверняка заметили бы, что я не рассмотрел в качестве х, число равно 1.
Итак Х1=1, Х2=3 и Х3=5
Все числа простые и отличаются на 2, как и требовалось по условию.
И данная тройка единственная за исключением, тройки чисел приведенной в условии задачи. Единственность мы доказали выше.  
Ответ 1, 3, 5