Небольшое тело соскальзывает с вершины полусферы радиусом 30см вниз. На какой высоте тело сорвется с поверхности полусферы и полетит вниз? Трение не учитывать

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
  • Участник Знаний
2012-01-25T21:33:28+04:00

По-моему, 2/3 от радиуса, т.е. 20 см. Здесь следует подойти к решению, исходя из закона сохранения энергии. 



1) В верхней точке траектории. 
Тело обладает только потенциальной энергией 
Е(верх) = mgR. 

2) В точке отрыва. 
Тело будет обладать и потенциальной (т.к. тело еще находится на некоторой высоте), и кинетической (т.к. оно уже движется, обладает некоторой скоростью v). 
E(отрыва) = (mv^2)/2 + mgh. 

3) При условии отсутствия воздействия внешних сил (ну тех же самых сил трения) выполняется закон сохранения энергии: 
Е(верх) = Е(отрыва), т.е. 
mgR=(mv^2)/2+mgh 

Сокращаем (массу): 
gR=(v^2)/2+gh 

4) Нам неизвестны скорость v и высота (которая нам как раз и нужна) h. 
Ну, рассмотрим, какие вообще силы действовали на тело. 

Когда тело было в верхней точке полусферы, на неё действовали две силы: сила тяжести mg и сила реакции опоры N. В точке отрыва сила реакции пропадает. И тут вспоминаем одно из основных уравнений динамики (второй закон Ньютона): 
F=ma (векторно), где F - равнодествующая всех сил, приложенных к телу, "а" - ускорение. Возвращаемся к точке отрыва тела: 

F=ma 
mg+N=ma (F есть равнодествующая mg и N) 
mg+0=ma ( N = 0 в точке отрыва) 
mg=ma 
Сокращаем: 
g=a. 

5) ускорение "а" в точке отрыва равняется (v^2)/R (так как в этот момент тело еще движется по дуге полусферы, ускорение "а" является центростремительным) . Так а=g лишь векторно, то перейдем к проекциям. Очевидно, что ускорение "а" 
будет равно проекции g на радиальное направление (по радиусу), т.е.: 

(v^2)/R = g*sin(b), (b - угол между a и g). 

Находим sin(b), как отношение противолежащего катета к гипотенузе, в треугольнике, образованном точкой отрыва, центром полусферы и её крайней правой точкой (на рисунке понятней будет). В общем, катет в этом треугольнике - h, гипотенуза - R. Отсюда: 
sin(b) = h / R 

т.к. (v^2)/ R = g * sin(b), то: 

(v^2)/ R = g * h / R 
Сокращаем 
(v^2)=gh 

6) Вернемся к закону сохранения энергии и подставляем туда вместо v^2 - gh: 

gR=(v^2)/2 +gh 
gR=gh/2 +gh 
gR=3/2 * gh 

Сокращаем: 

R= 3/2 * h 

Отсюда h = 2/3 R = 2/3 * 30 = 60/3= 20 (см). Вот.