В треугольнике abc на стороне ав взяты точки m и n, а на сторонах bc и ac взяты точки P и q так что четырехугольник mnpq zskztncz параллелограммом, площадь которого составляет 4/9 площади треугольника abc, найдите длину cтороны ab если mn=1

1

Ответы и объяснения

2013-12-06T15:01:22+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Можно конечно эту задачу решить , через коэффициент подобия как то. Но можно еще так поступить .
Пусть наш треугольник ABC , и точки  M,N на стороне  AC  , и точки  Q,P на сторонах  AB,BC соответственно . 
 Тогда очевидно что треугольники BPQ и ABC  подобны друг другу. Так как PQ||MN ,  выведем некие следствия из подобия: 
  \frac{QP}{AB}=\frac{QC}{AC}=\frac{CP}{BC}  , или же это соотношение можно записать так , выражая отрезки  
\frac{QP}{AB}=\frac{CQ}{AQ+CQ}\\
\frac{QP}{AB}=\frac{CP}{CP+BP}\\

Теперь выразим стороны PQ,AB  по теореме косинусов 
CQ^2+CP^2-2*CQ*CP*cosC=1^2\\
AC^2+BC^2-2AC*BC*cosC=AB^2
выражая с них  cosC  и приравнивая получим:
\frac{(AM+NB+1)^2-(AQ+CQ)^2-(CP+PB)^2}{(AQ+CQ)(CP+BP)}=\frac{1-CQ^2-CP^2}{CQ*CP}
сделаем замену для простоты и преобразуем эту часть
AQ=x\\
QC=y\\
CP=z\\
BP=w\\
AM=g\\
NB=h \\
\frac{(g+h+1)^2-(x+y)^2-(z+w)^2}{(x+y)(z+w)}=\frac{1-y^2-z^2}{yz}\\
\frac{y}{x+y}=\frac{z}{z+w}\\
wy=zx\\
y=\frac{zx}{w}
Теперь подставим в начальное выражение 
\frac{(g+h+1)^2-(x+\frac{zx}{w})^2-(z+w)^2}{(x+\frac{zx}{w})(z+w)}-\frac{(1-\frac{zx}{w})^2-z^2}{\frac{z^2x}{w}}=0
теперь разложим на множители , и затем приравнивая к 0 каждый многочлен получим 
hz+gz-w=0\\
hz+gz+2z+w=0
второй не подходит 
hz+gz=w\\
h+g=\frac{w}{z}\\
 AM+NB=\frac{BP}{CP}
   в дальнейшем это соотношение понадобится 
Теперь подставим еще раз в самое начальное выражение получим  
(\frac{w}{z}+1)^2+(x+y)^2-(z+w)^2}{(x+y)(z+w)}-\frac{1-y^2-z^2}{yz}=0\\
z^3+wz^2-y^2z-xyz-z-w=0\\
z^3+wz^2-(\frac{zx}{w})^2*z-x*\frac{zx}{w}*z-z-w = 0\\
x^2z^2-w^2z^2+w^2=0\\ 
x^2z^2=w^2(z^2-1)\\

Теперь заметим соотношение \frac{xz}{w}=y\\
 тогда 
y^2=z^2-1\\
y^2+1=z^2 то есть  треугольник выходит прямоугольный при наличии именно определенного соотношения!  Тогда 
CQP=90а    тогда и CAB=90а                                        
 Найдем угол C 
CP=\frac{QP}{sinC}\\
sinC=\frac{1}{CP}\\
QP=1\\
cosP=\frac{1}{CP}
Теперь так как сам треугольник прямоугольный , то высота параллелограмма  MNPQ будет сторона AQ, а так как площадь  параллелограмма равна основание на высоту опущенную на нее, то  площадь параллелограмма равна S_{MNPK}=AQ*1=AQ, и она равна 
AQ=\frac{4S}{9} 
площадь прямоугольного треугольника АВС равна 
 \frac{AB*AC}{2}=\frac{9AQ}{4}\\
AB*AC=\frac{9AQ}{2}\\
(AQ+QC)(1+\frac{BP}{CP})=\frac{9AQ}{2}\\
 , но так как \frac{BP}{CP}=\frac{AQ}{CQ} то 
 \frac{9AQ}{2}=(AQ+CQ)(1+\frac{AQ}{CQ})\\
  с него следует 
AQ=\frac{CQ}{2}\\
 . Тогда 
&#10;2AQ=CQ\\&#10;CQ+\frac{CQ}{2}=\frac{3CQ}{2}=AC\\&#10;\frac{CQ}{\frac{3CQ}{2}}=\frac{2}{3} , то есть коэффициент подобия     равен  \frac{2}{3}<1 верно ! тогда \frac{1}{AB}=\frac{2}{3}\\&#10;AB=1.5