Ответы и объяснения

2013-12-04T14:04:49+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
a^{2003}+\frac{1}{a^{2003}}=?\\
a^2-a+1=0\\


D=1-4*1*1=i\sqrt{3}\\
x_{1}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\
x_{2}=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
\\

теперь для каждого значения найдем 
(\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^{2003}+\frac{1}{(\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^{2003}}\\
переведем  в тригонометрическую основу 
\frac{1+i\sqrt{3}}{2}=x+iy\\
x=0.5\\
y=0.5\sqrt{3}\\
\\
r=\sqrt{0.5^2+(0.5\sqrt{3})^2}=1\\
tg \alpha =\frac{y}{x}=\sqrt{3}\\
a=60а\\
z=1*(cos60а+i*sin60а)
воспользуемся  формулой Муавра 
(cos60а+i*sin60а)^{2003}+\frac{1}{(cos60а+i*sin60а)^{2003}}\\
\\
(cos60а+i*sin60а)^{2003}=z^{2003}\\
z^{2003}=cos(2003*60)+i*sin(2003*60)=0.5+0.5\sqrt{3}*i\\
z^{-2003} = \frac{1}{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}=\frac{2}{1+i\sqrt{3}} = \frac{2(1-i\sqrt{3})}{1-i^2*3}=\\ \frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
a^{2003}+a^{-2003}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}+\frac{1-\sqrt{3}i}{2}=1
а второй со знаком уже -1
Ответ 1 или -1