Ответы и объяснения

2013-11-30T17:01:03+00:00

. Находим область определения функции . 

2. Выясняем четность функции. 

Если , то функция называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси ). 

Если , то функция называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 

3. Выясняем периодичность функции. 

Если при некотором , то функция называется периодической. График периодической функции имеет одну и ту же форму на каждом из отрезков . Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на остальных отрезках 

4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности). Для этого: 

вычисляем производную и находим критические точки функции, т.е. точки, в которых или не существует; 

определяя знак производной, находим интервалы возрастания и убывания функции: если , то функция возрастает, если , то функция убывает; 

если производная меняет знак при переходе через критическую точку , то – точка экстремума: если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» – то точка минимума, если же с «плюса» на «минус» – то точка максимума. Если производная сохраняет знак при переходе через критическую точку, то в этой точке экстремума нет. 

5. Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого: 

вычисляем вторую производную и находим точки, принадлежащие области определения функции, в которых или не существует; 

определяя знак второй производной, находим интервалы выпуклости и вогнутости: если , то функция выпукла, если , то функция вогнута; 

если вторая производная меняет знак при переходе через точку , в которой или не существует, то – точка перегиба. 

6. Находим асимптоты функции. 

а) Вертикальные: находим односторонние пределы в граничных точках 

и/или . 

Если хотя бы один из этих пределов бесконечен, то – вертикальная асимптота графика функции . 

б) Наклонные: если существуют конечные пределы 

и , 

то прямая – наклонная асимптота графика функции (если , ,то – горизонтальная асимптота). 

Замечание 1. Асимптоты при и могут быть разными. 

Замечание 2. При необходимости можно найти точки пересечения кривой с осями координат и задать дополнительные точки. 

7. Строим график функции. 

Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их графики.