Исследовать на экстремум функцию двух переменных z=f(x,y) z=6xy-9x^2-9y^2+4x+4y

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-01-17T06:49:44+04:00

Функция

 

f(x,\ y)=6xy-9x^2-9x^2+4x+4y

 

непрерывно дифференцируема на всей действительной плоскости, поэтому все её экстремумы находятся среди стационарных точек функции. Ищем их:

 

\frac{\partial f}{\partial x}=6y-18x+4=0

 

\frac{\partial f}{\partial y}=6x-18y+4=0.

 

 Решая эту систему, находим единственную стационарную точку:

 

x=y=\frac13

 

Чтобы определить тип стационарной точки составим матрицу вторых производных:

 

\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-18,\ \ \ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=6,

 

\left(\begin{array}{cc} -18&6\\ 6&-18\\ \end{array}\right) .

 

Эта матрица, согласно критерию Сильвестра, отрицательно определённая (так как её верхний левый элемент отрицателен, а определитель положителен), значит в найденной точке функция достигает локального максимума.

 

PS: задача хоть и простая, но явно не школьная, скорее всего где-то 2-ой семестр ВУЗа, матан. Советую обращаться в другие форумы, например в dxdy.