Помогите пожалуйста! В трапеции проведены диагонали. Площади двух треугольников, прилежащих к основаниям трапеции, равны 4 и 9. Найдите площадь трапеции

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-11-24T07:28:33+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
 Трапеция АВСД разбивается диагоналями АС и ВД на 4 треугольника.
Точку пересечения диагоналей обозначим через О.
Треугольники АВО и СДО имеют равные площади  S_{ABO}=S_{CDO}.
Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам (<AOD=<BOC , <CBO=<ADO)
В подобных треугольниках  линейные отрезки относятся как корни из площадей,
поэтому 
 \frac{BC}{AD}=\frac{CO}{AO}=\frac{BO}{DO}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}
Рассм. треугольники ВОС и ДОС .Проведём в них общую  высоту из вершины С на сторону ВО (ДО).Обозначим её h.Тогда
 S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot BO\; ,\; S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot DO\\\\\frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=\frac{BO}{DO}\\\\no\; \; \frac{BO}{DO}=\frac{2}{3}\; \; \to \; \; \frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=\frac{2}{3}\; \; \to \; \; S_{COD}=S_{BOC}:\frac{2}{3}=4:\frac{2}{3}=\frac{4\cdot 3}{2}=6\\\\S_{ABCD}=S_{BOC}+S_{AOD}+S_{AOB}+S_{COD}=\\=4+9+2\cdot S_{COD}=4+9+12=25 
 Замечание. Докажем, что  

 S_{AOB}=S_{COD}\\S_{AOB}=S_{ABD}-S_{AOD}
 S_{COD}=S_{ADC}-S_{AOD}
 Но площади треугольников АВД и АДС равны, так как у нич основание АД одно и то же и высоты их равны высоте трапеции.Отсюда следует равенство площадей треугольниковАОB и СОД:  S_{AOB}=S_{COD}