Найти все а, при которых уравнение x^5-5x+a=0 имеет два различных действительных корня

1

Ответы и объяснения

2011-12-31T11:38:06+04:00

1)Для решения используем графическую интерпретацию. Количество решений уравнения f(x)=g(x) - это количество точек пересечения графиков y=f(x) и y=g(x).

Запишем уравнение в виде чx^5=5x-a.

2) При а=0 уравнение примет вид х⁵=5х, которое имеет три решения. (см рисунок).

Еслисмещать прямую y=5x вдоль оси Оу можем получить две точки пересечения с графиком функции  у=х⁵, если прямая y=5x-а будет касаться графика у=х⁵ (см рисунок). В этом случае и будет два решения. ( в остальных случаях либо 3 либо одна точка пересечения).

3) По геометрическому смылу производной в точке касания производная функции   у=х⁵ должна быть равна 5.   y'(x)=5x^4 тогда 5x^4=5, тогда х=1 или х=-1.

 

4) Уравнение касательной y=y(x_{0})+y'(x_{0})(x-x_0)

 

при х=1 у(1)=1; y'(1)=5  и уравнение касательной у=1+5(х-1), у=5х-4, тогда а=4.

при х=-1 у(1)=-1; y'(1)=5  и уравнение касательной у=-1+5(х+1), у=5х+4, тогда а=-4.

 

Ответ а=4 или а =-4