Найти все значения a, при которых вершины парабол

y=x^{2}-2(a+1)x+1 и y=ax^{2}-x+a

лежат по разные стороны от прямой y=3/4

1

Ответы и объяснения

2011-12-30T15:45:13+00:00

Координата х вершины параболы находится по формуле x=-\frac{b}{2a}, тогда x_{1}=\frac{2(a+1)}{2}=a+1\\ x_{2}=\frac{1}{2a}.

 

Условие при котором эти вершины лежат по разные сторны от прямой y=3/4  следующее \begin{cases} a+1<\frac{3}{4}\\\frac{1}{2a}>\frac{3}{4}\end{cases} или \begin{cases} a+1>\frac{3}{4}\\\frac{1}{2a}<\frac{3}{4}\end{cases}

 

эти два условия можно объединить в одно (a+1-\frac{3}{4})(\frac{1}{2a}-\frac{3}{4})<0\\ (a-\frac{1}{4})\frac{(4-6a)}{2a}<0

 

Полученное неравенство решим методом интервалов. Рисунок в прикрепленном файле.