Докажите,что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая медиана.

1

Ответы и объяснения

2016-01-23T20:04:27+03:00
Первый способ. Пусть BK‍ и CM —‍ медианы треугольника ABC,‍ O —‍ их точка пересечения и AC > AB.‍ Обозначим OM = x,‍ OK = y.‍ Тогда OC = 2x,‍ OB = 2y.‍
По теореме косинусов из треугольников MOB‍ и KOC‍ находим, что
BM‍2 = x‍2 + 4y‍2 − 4xy cos ∠MOB,  CK‍2 = 4x‍2 + y‍2 − 4xy cos ∠KOC.‍
Поскольку BM = ‍‍ 1 ‍ 2 AB,‍ KC = ‍‍ 1 ‍ 2 AC,‍ то
BM‍2 < KC‍2,  или x‍2 + 4y‍2 < 4x‍2 + y‍2 (∠MOB = ∠KOC).‍
Отсюда следует, что x > y.‍ Поэтому CM = 3x > 3y = BK.‍
Второй способ. Пусть BK‍ и CM —‍ медианы треугольника ABC,‍ O —‍ их точка пересечения и AC > AB.‍
Проведём медиану AN.‍ В треугольниках ANB‍ и ANC‍ сторона AN —‍ общая, BN = CN,‍ а AB < AC,‍ поэтому ∠ANB < ∠ANC‍ (см. задачу 3606).
В треугольниках ONB‍ и ONC‍ сторона ON —‍ общая, BN = CN,‍ а ∠ONB < ∠ONC,‍ поэтому OB < OC.‍ Следовательно,
BK = ‍‍ 3 ‍ 2 OB < ‍‍ 3 ‍ 2 OC = CM.‍