помогите

нужно найти общее решения д.у.

yy'-x^2yy'+x+xy^2=0

x^2+xy=y^2\y'

y''+sin^2x=1

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2011-12-25T23:15:29+04:00

1) yy'-x^2yy'+x+xy^2=0

    Введём замену: y^2=z. Тогда 2yy'=z'. Подставляя это в исходное уравнение, получим:

    z'-x^2z'+2x+2xz=0 - это уравнение с разделяющимися переменными:

    z'(1-x^2)+2x(1+z)=0,

    \frac {z'}{1+z}=\frac{2x}{x^2-1},

    \frac {dz}{1+z}=\frac{2x}{x^2-1}dx;

    \\int{\frac{dz}{1+z}}=\ln(1+z), \int{\frac{2x}{x^2-1}}\, dx=\int{\frac{d(x^2)}{x^2-1}=\ln(x^2-1).

    Тогда:

    \ln(1+z)=\ln(x^2-1) + C,

    1+z=C(x^2-1);

    вспоминая, что z=y^2, окончательно получаем:

    y^2=C(x^2-1) -1

 

2) x^2+xy=\frac{y^2}{y'}

    Умножим на y' и поделим на x^2:

    y'+\frac y x\ y'=\frac{y^2}{x^2};

    введём замену: \frac y x=z. Тогда y=xz,\ \ y'=z+xz'. Подставляя в уравнение, получим:

    z+xz'+z^2+xzz'=z^2,

    z+xz'+xzz'=0 - уравнение с разделяющимися переменными:

    x(z'+zz')=-z,

    \frac{z'+zz'}z=-\frac1 x,

    \frac{1+z} z\ dz=-\frac{dx} x;

    \int{\,\frac{1+z}z}\, dz=\int{\, \frac{dz}z}+\int\, dz=\ln z+z, \int{-\frac{dx} x} \ =-\ln x; значит:

    \ln xz+z=C,\ \ln y+\frac y x=C

 

3) y''+\sin^2x=1

    y''=1-\sin^2x=\cos^2x=\frac1 2+\frac 1 2\cos{2x}

    y'=\frac1 2\,x+\frac1 4\sin{2x}+C_1

    y=\frac1 4\,x^2-\frac1 8\cos{2x}+C_1x+C_2