Ответы и объяснения

2013-11-18T06:10:36+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Здесь можно воспользоваться разложением в ряд Маклорена экспоненциальных функций до 4 члена. Остальные члены будут бесконечно малыми более высокого порядков и не будут влиять на ответ в пределе.

 \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-e^{2x}-x}{x^2}=

 =\lim_{x \to 0} \frac{(1+\frac{3x}{1!}+\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3))-(1+\frac{2x}{1!}+\frac{(2x)^2}{2!}+O(x^3))-x}{x^2}=

=\lim_{x \to 0} \frac{1+\frac{3x}{1!}+\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-1-\frac{2x}{1!}-\frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)-x}{x^2}=

Сократим в числителе единицу,

=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x}{1!}+\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-\frac{2x}{1!}-\frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)-x}{x^2}=

=\lim_{x \to 0} \frac{3x+\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-2x-\frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)-x}{x^2}=

В числителе сократим члены при х. Останутся члены при x^2  и O(x^3)

=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{(3x)^2}{2!}+O(x^3)-\frac{(2x)^2}{2!}-O(x^3)}{x^2}=

=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2}{2!}+O(x^3)-\frac{4x^2}{2!}-O(x^3)}{x^2}=

=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2}{2}+O(x^3)-\frac{4x^2}{2}-O(x^3)}{x^2}=

=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2}{2}-\frac{4x^2}{2}+O(x^3)-O(x^3)}{x^2}=

=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2-4x^2}{2}+O(x^3)-O(x^3)}{x^2}=

=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5x^2}{2}+O(x^3)-O(x^3)}{x^2}=

=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5x^2}{2}}{x^2}+\lim_{x \to 0} \frac{O(x^3)}{x^2}-\lim_{x \to 0} \frac{O(x^3)}{x^2}=

Заметим, что два последних члена равны 0. Так как порядок стремления к нулю у числителя больше, чем у знаменателя.

=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5x^2}{2}}{x^2}=\frac{5}{2}=2,5

Ответ: 2,5.
Заметим, что члены при O(x^3) можно отбросить. Так как при делении на