Ответы и объяснения

2013-11-13T17:34:58+04:00
Определение

Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \R определена функция f\colon U(x_0) \subset \R \to \R. Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,

\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0:

f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).

В математическом анализе первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = x3 / 3 является первообразной f(x) = x2. Так как производная константы равна нулю, x2 будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x3 / 3 + 45645 или x3 / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x2 можно обозначить как F(x) = x3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

\int f(x)\, dx

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x} с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x^2 sin\frac{1}{x} с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx.