Докажите методом мат. индукцией
 1^{2}+ 3^{2}+ 5^{2}+...+ (2n-1)^{2}= \frac{n(4n^{2}-1) }{3}
В третьем пункте не выходит, объясните, что я делаю не так??

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-11-11T22:30:20+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
1) При n=1 подставим в формулу и получаем
\frac{1*(4*1^2-1)}{3}=\frac{1*3}{3}=1
Выполняется соотношение.
2) Предположим, что при n=k, верно равенство, которое требуется доказать, т. е.
1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=\frac{k(4k^2-1)}{3}
3) Учитывая, 1) и 2) докажем при n=k+1 равенство
1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2(k+1)-1)^2=\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}
или
1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}

Преобразуем правую часть, чтобы было понятнее

\frac{(k+1)(4(k+1)^2-1)}{3}=\frac{(k+1)(4k^2+8k+4-1)}{3}=\frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3}=

раскроем скобки

=\frac{(k+1)(4k^2+8k+4-1)}{3}=\frac{4k^3+4k^2+8k^2+8k+3k+3}{3}=\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}

То есть должны доказать, что

1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}\quad(*)

при условии верности 1) и 2)

Доказательство утверждения (*) при условии верности предположения 2)
Прибавим ко 2)-му равенству с обеих сторон последнее слагаемое при n=k+1. То есть (2(k+1)-1)^2=(2k+2-1)^2=(2k+1)^2. Получаем

1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\frac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2

Преобразуем правую часть, так как левая совпадает с тем, что в (*).

\frac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2=\frac{k(4k^2-1)+3(2k+1)^2}{3}=

Приведем к общему знаменателю

=\frac{4k^3-k+3(4k^2+4k+1)}{3}=\frac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}=\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}

Получилось то, что в (*).

Доказательство завершено