Найдите, при каких значениях параметра m трехчлен второй степени (3-4m)x^2+3(m-1)x-2(m-1) представляет полный квадрат двучлена.

1

Ответы и объяснения

  • nomathpls
  • почетный грамотей
2013-11-10T10:43:38+04:00
Нам нужно разложить наш трехчлен на два множителя, которые на самом-то деле будут одинаковыми. Чтобы найти эти множители, нам необходимо решить квадратное уравнение (3-4m)x^2+3(m-1)x-2(m-1)=0 
Самое главное - не запутаться в буквах. x - переменная, а m - параметр.
Найдем дискриминант этого уравнения.
D=(3(m-1))^2-4*(3-4m)*(2(m-1))=
=3m^2-6m+3-4((3-4m)(2m-2))=
3m^2-6m+3-4(-8m^2+14m-6)=
3m^2-6m+3+32m^2-56m+24=35m^2-62m+27

Теперь думаем: при D>0 будет два корня, которые не будут равны. При D<0 корней не будет вообще, а при D=0 - как раз то, что нужно! Ведь корень будет всего один (или, как говорят, корень второй кратности), а значит получится полный квадрат двучлена.

Решим другое уравнение: 35m^2-62m+27=0. Заметим, что сумма коэффициентов равна нулю, а значит число 1 является корнем этого уравнения. По теореме Виета, другой корень будет равен \frac{27}{35}.

Итак, вот он ответ: при m=1 и m=\frac{27}{35} наш трехчлен представляет собой полный квадрат.

Ради интереса можно сделать проверку, подставив вместо m единицу, и попробовать выделить полный квадрат.