Есть равнобедренный треугольник с вписаной окружностью центр которой делит высоту проведенную к основанию на отрезки 5 см и 3 см. Найти стороны.

1

Ответы и объяснения

2013-11-09T22:51:31+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Обозначим точки касания  окружности с боковыми сторонами как  K и L 
BH-высота , она же и медиана так как треугольник по условию равнобедренный , следовательно  AC=2AH
Так как  BK,BL касательные проведенные с одной вершины В то они равны !
По теореме о секущей BK=\sqrt{BF*BH}=\sqrt{(5-3)*8}=4\\
BL=4
так как OH радиус, то OK тоже радиус, в прямоугольном треугольнике  BKO, найдем угол    OBK, по теореме косинусов 
3^2=4^2+5^2-2*4*5*cosKBO\\
cosKBO=\frac{4}{5}\\

теперь обозначим AK=LC=x , так как они боковые стороны равны !  
то угол  ABC=2 ABH   , то 
ABH=a\\
cosa=\frac{4}{5}\\
a=arccos\frac{4}{5}\\
cos(2arccos\frac{4}{5})=2cos^2(arccos\frac{4}{5})-1=\frac{32}{25}-1= \frac{7}{25}\\


Теперь воспользуемся тем что AC=2AH
AH=\sqrt{(4+x)^2+64-16(4+x)*\frac{4}{5}}\\
AC=\sqrt{2*(4+x)^2-2(4+x)^2*\frac{7}{25}}\\
2*\sqrt{(4+x)^2+64-16(4+x)*\frac{4}{5}}= \sqrt{2*(4+x)^2-2(4+x)^2*\frac{7}{25}}\\
x=6

Отудого AK=6, то  AH=6
и того   AC=12 ,  AB=BC=10