Докажите, что при любых целых а и б произведение аб(а^2-б^2)(4а^2-б^2) делится на 30

1

Ответы и объяснения

2013-11-06T18:26:16+04:00
Для этого нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3.
Если n - чётное, то произведение четного числа на любое другое даёт всегда чётное, если n - нечётное, тогда в скобках величина 7n (нечетное на нечетное) будет нечетным, а 7n+1 - всегда четным. А произведение четной скобки на всё, что угодно даёт всегда четное. Делимость на 2 доказали.
Делимость на 3 докажем следующим образом. У нас 3 множителя. Поэтому будем поочереди подставлять натуральные числа вместо n и смотреть, какие будут получаться остатки от них при делении на 3. Если остаток 0, то делится
1: 1 0 2 - делится
2: 2 2 0 - делится
3: 0 1 1 - делится
4: 1 0 2 - делится
5: 2 2 0 - делится
3: 0 1 1 - делится
Нетрудно заметить, что начиная с n=4 идёт повтор. И так будет повторяться через каждые 3 строчки. Таким образом, в каждом наборе есть множитель, остаток от деления на 3 которого равен 0, то есть делится на 3.
А раз число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.........
да, но еще надо доказать что выражение кратно 5