Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от числа сторон многоугольника

2

Ответы и объяснения

2013-11-01T18:27:43+04:00
Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. 

Пусть A 1 A 2... A n – данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ..Δ A 1 A n – 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – ( n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° ( n – 2).
2013-11-01T18:27:48+04:00
Каждый внешний угол многоугольника вместе со смежными внутренними =180°.Таких пар углов – n, значит сумма всех внутренних и внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) = 180°*n. Вычитаем из нее сумму внутренних углов  180°*n-180°*(n-2)= 180°*n-180°*n+360°=360°  Т.е. сумма внешних углов многоугольника не зависит от числа сторон n.