Доказать -1<хy+yz+zt+tx<0, если x + y + z + t = 0 и x2 + y2+ z2 + t2 = 1(''x2,y2,z2,t2'' обозначает x,y,z,t в квадрате)

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2011-11-27T01:34:11+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

xz+yt<=1/2*(x^2+z^2)+1/2*(y^2+t^2)=1/2*(x^2+y^2+z^2+t^2)=1/2*1=1/2

 

(x+z)^2+(y+t)^2>=0

(x^2+z^2+2xz)+(y^2+2yt+t^2)>=0

x^2+y^2+z^2+t^2+2(xz+yt)>=0

xz+yt>=-1/2

 

-1/2<=xz+yt<=1/2

 

x + y + z + t = 0

(x+y+z+t)^2=0

x^2+y^2+z^2+t^2+2(xy+yz+zt+tx+xz+yt)=0

2(хy+yz+zt+tx)=-(x^2+y^2+z^2+t^2)-2(xz+yt)

2(хy+yz+zt+tx)=-1+2*(xz+yt)

 

2(хy+yz+zt+tx)=-1+2*(xz+yt)<=-1+2*1/2=-1+1=0

хy+yz+zt+tx<=0

 

 

2(хy+yz+zt+tx)=-1+2*(xz+yt)>=-1+2*(-1/2)=-1-1=-2

хy+yz+zt+tx>=-1


заметим что равенство 0 достигается например при x=y=0.5, z=t=-0.5

равенство 1 достигается например при x=z=0.5, y=t=-0.5