Докажите,что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на9

1

Ответы и объяснения

  • sergpiv
  • светило науки
2013-10-12T15:23:38+04:00
X^3+(x+1)^3+(x+2)^3=x^3+x^3+3x^2+3x+1+x^3+6x^2+12x+8=3x^3+9x^2+15x+9=3(x^3+5x)+9(x^2+1);
9(x^2+1) делится на 9;
докажем, что x^3+5x  делится на 3
любое число x можно записать в одном из 3 видов:
1) x=3y
2) x=3y+1
3) x=3y+2
1) очевидно, что числа 1 вида делятся на 3
2) подставим вместо x: x^3+5x=x(x^2+5)=(3y+1)[(3y+1)^2+5]=(3y+1)(9y^2+6y+1+5)=3(3y+1)(3y^2+2y+2) - делится на 3
3)  подставим вместо x: x^3+5x=x(x^2+5)=(3y+2)[(3y+2)^2+5]=(3y+2)(9y^2+12y+4+5)=3(3y+2)(3y^2+4y+3) - делится на 3

зн. любое число вида x^3+5x делится на 3
Доказано!!!