Помогите, пожалуйста решить задачи.

1.
Федя написал на доску в первый столбик 16 различных
простых чисел, а во второй – 3 различные цифры. Игорь должен сказать Феде одно
из чисел из первого столбика, а Федя – составить из своих цифр одно трёхзначное
число. Игорь ходит первым. Федя выигрывает, если его число делится на число
Игоря, и проигрывает в противном случае. Докажите, что Игорь всегда сможет
помешать Феде выиграть.



2.
В начале игры в каждой клетке полоски из 2014 клеток стоит
фишка одного из 1007 цветов, каждый цвет встречается ровно у двух фишек. Ход
заключается в том, что все фишки сдвигаются на клетку вправо, а если фишка уже
стоит в самой правой клетке, то её сдвигают на две клетки обратно. Между ходами
можно снять с доски пару одноцветных фишек, если они попали в одну клетку.
Докажите, что игра будет длиться бесконечно.



3.
В племени угабугцев два человека знакомы, если их имена
содержат общую букву, а иначе – нет. У каждого угабугца спросили, сколько у
него знакомых в племени. Динара сказала, что 20, Сири – 15, Рада – 12, Инна –
12. Что ответила Раиса? Ответ обоснуйте.
4.
На королевском балу присутствует 100 человек. Известно,
что среди любых 50 из них есть хотя бы одна пара родных близнецов. Докажите,
что на балу обязательно найдётся три человека, являющихся родными близнецами.

1

Ответы и объяснения

2013-09-29T19:56:18+00:00
1. Просто́е число́ — это натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Т.е. число, которое делится  без остатка только само на себя.
Таким образом Игорь выбирет простое число из первого столбика, которое нельзя составить из цифр во втором.

2. В связи с тем, что фишку, находящуюся в самой правой клетке, всегда сдвигают на две клетки обратно, игра бесконечна.
В конечном итоге в 2х крайних правых клетках останутся 2 одинаковых фишки, которые будут идти в соседних клетках, но никогда не попадут в одну клетку.


3. Динара - 20,

Сири – 15,

 Рада – 12,

Инна – 12.

Раиса -?

Кол-во людей, в именах которых встречаются буквы:

Д, И, Н, Р, А – 20

С, Р,  И – 15 чел

А, Р,  Д - 12

И, Н, А – 12

Д, Р – 8 чел

И, Н – 8 чел

А -  4

Раиса (Р, С, И, А)= Сири+ А = 15+4 = 19


4. То, что на балу обязательно найдётся три человека, являющихся родными близнецами, заложено в условии задачи. "Известно, что среди любых 50 из них есть хотя бы одна пара родных близнецов." 

Найти их очень просто: берем из сотни 50 любых человек - среди них будет как минимум одна пара близнецов, условно помечаем их одинаковыми метками. Затем формирует следующую 50ку, убрав из предыдущей одного помеченного близнеца, помечаем новую пару и опять убираем полупару из 50ки, формируем следующую. И так продолжаем до тех пор, пора среди 49 случайных людей из 100 не найдется близнец уже помеченному.