В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота и проведена биссектрисса. Расстояние между точками их пересечения с гипотенузой составляет 3 см. Найдите площадь треугольника, если расстояние от точки Н до одного конца гипотенузы в 4 раза больше расстояния от точки Н до другого конца гипотенузы, а точка Н - это пересечение гипотенузы и проведенной высоты.

Заранее всем спасибо.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-09-28T07:51:09+04:00
Обозначим АН=х и ВН=4х. Из подобия треугольников АСН и АСВ имеем 
AC^{2}=AH*AB=x*5x=5 x^{2}
Из подобия треугольников ВСН и АСВ имеем 
BC ^{2}=BH*AB=4x*5x=20 x^{2}
 \frac{AC}{BC}= \frac{1}{2}  , (-1/2 посторонний корень).
Пусть СК биссектриса. Т к ВН больший отрезок гипотенузы, то точка К лежит на ВН. По свойству биссектрисы 
 \frac{AC}{AK}= \frac{BC}{BK}; \frac{AC}{x+3}= \frac{BC}{4x-3}
 \frac{AC}{BC}= \frac{x+3}{4x-3}
Получаем равенство  \frac{x+3}{4x-3} = \frac{1}{2}; 2x+6=4x-3;x=4,5
AH=4,5;  BH=18.
Из подобия треугольников АСН и СВН имеем CH ^{2}=4,5*18=81;CH=9.
S= \frac{1}{2}AB*CH= \frac{1}{2}*22,5*9=101,25
Ответ 101,25 кв см