Докажите , что при любом значении n выполняется равенство : 1(в кубе) + 2(в кубе) + 3(в кубе) + ... + n(в кубе) = числитель (n(квадрат) * (n + 1)(квадрат)) знаменатель 4

1

Ответы и объяснения

  • Artem112
  • Ведущий Модератор
2013-09-22T12:53:38+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Метод мат. индукции:
1) При n=1 равенство верно
n^3=1^3=1
\\\\
 \frac{n^2(n+1)^2}{4}=  \frac{1^2\cdot2^2}{4}= =1

2) Пусть при n=k равенство верно
1^3+2^3+3^3+...+k^3= \frac{k^2(k+1)^2}{4}

3) Докажем, что при n=k+1 равенство будет также верным
1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3= \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=
\\\
=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=\frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}{4}=
\\\
=\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}