Дано натуральное число a. Уравнение t^2+at-1=0 имеет корни x и y. Докажите, что x^3+у^3 целое число, кратное a. Выразите это число через а.

1

Ответы и объяснения

  • 4MD
  • отличник
2013-09-20T14:08:41+00:00
Используем формулу суммы кубов, а затем - сумму квадратов:
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy)=\\=(x+y)((x+y)^2-3xy)
По теореме Виета:
\left \{ {{x+y=-a} \atop {xy=-1}} \right.
Подставляем:
(x+y)((x+y)^2-3xy)=(-a)((-a)^2-3\cdot(-1))=\\=-a(a^2+3)=-a^3-3a
Через a уже выразили.
Если a - натуральное число, значит оно и целое, следовательно x^3+y^3=-a^3-3a тоже целое число (куб любого целого числа - целое число).