Дано натуральное число a. Уравнение t^2+at-1=0 имеет корни x и y. Докажите, что x^3+у^3 целое число, кратное a. Выразите это число через а.

1

Ответы и объяснения

  • 4MD
  • отличник
2013-09-20T18:18:01+04:00
Теорема Виета:
x+y=-a\\xy=-1

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=\\=(x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy)=(x+y)((x+y)^2-3xy)=\\=(-a)((-a)^2-3\cdot(-1))=-a(a^2+3)=-a^3-3a
Если a - натуральное число, следовательно -a^3-3a - число целое.