В прямоугольный треугольник вписали круг. Точка соприкосновения делит один из катетов на отрезки длинною 3 см и 9 см, начиная от вершины прямого угла. Найдите другой катет и гипотенузу

1

Ответы и объяснения

2013-09-16T16:51:25+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Баллов, конечно, маловато. Обозначим треугольник АВС. С- прямой угол. Точки соприкосновения со стороной АС назовем К, а со стороной СВ - М. Заметим, что АС=АК+КС=9+3=12 см. Заметим, что СКОМ - квадрат, так как ОК перпендикулярно АС - так как АС - касательная к вписанной окружности. С - прямой угол по условию задачи. ОМ перпендикулярно СВ, так как СВ - касательная к вписанной окружности. На оставшийся угол КОМ остается 90 градусов по свойству сумм углов четырехугольника в евклидовой геометрии. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам. 3 известных угла -прямые, значит на четвертый угол КОМ остается 360-3*90=360-270=90градусов. Заметим, что СК=ОК=3 см. Значит длина радиуса вписанной окружности равна 3 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. S=0,5AC*CB=0,5*12*CB=6CB (1).

С другой стороны S=p*r, где r - радиус вписанной окружности, р - полупериметр.
S=3*p.
S=3*0,5*(AC+CB+AB).
S=3*0,5*(12+CB+AB).
По теореме Пифагора AB=\sqrt{AC^2+CB^2}
Или AB=\sqrt{12^2+CB^2}
AB=\sqrt{144+CB^2}
Значит по-другому
S=3*0,5*(12+CB+\sqrt{144+CB^2})\quad(2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2). Найдем катет СВ.

6CB=3*0,5*(12+CB+\sqrt{144+CB^2})

Сократим обе части на 3.

2CB=0,5*(12+CB+\sqrt{144+CB^2})

Умножим обе части на 2

4CB=12+CB+\sqrt{144+CB^2}

4CB-12-CB=\sqrt{144+CB^2}

3CB-12=\sqrt{144+CB^2}

Возведем обе части в квадрат

9CB^2-72CB+144=144+CB^2

Сократим обе части на слагаемое 144.

9CB^2-72CB=CB^2

Перенесем все в одну часть

9CB^2-72CB-CB^2=0

8CB^2-72CB=0

Сократим обе части на 8.

CB^2-9CB=0

CB*(CB-9)=0

Первый ответ СВ=0 - не подходит по смыслу задачи. Второй ответ СВ=9 см - подойдет.

Гипотенузу вычислим по той же теореме Пифагора

  AB=\sqrt{144+CB^2}

AB=\sqrt{144+9^2}

AB=\sqrt{144+81}

AB=\sqrt{225}

AB=\sqrt{15^2}

AB=15 см

Ответ: неизвестный катет равен СB=9 см, гипотенуза равна AB=15 см.