Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания куба, которые не имеют общих точек.

1

Ответы и объяснения

2013-09-16T07:20:55+04:00
Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми,  диагональю куба и диагональю основания куба, это расстояние между одной из двух прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Построим плоскость, проходящую через прямую BD параллельно прямой АС1.
Возьмем точку К - середину отрезка СС1,  АС1 параллельна ОК ( т к ОК средняя линия в треугольнике АСС1). 
По признаку параллельности прямой и плоскости АС1 параллельна плоскости BDK. Найдем расстояние между ними, оно рано расстоянию между параллельными прямыми АС1 и ОК.  Опустим перпендикуляр ОН на АС1 и найдем его длину с помощью треугольника АОС1.
AC=a \sqrt{2};AO= \frac{1}{2}AC= \frac{1}{2}a \sqrt{2};AC_{1}=a \sqrt{3};
OC _{1}= \sqrt{OC ^{2}+CC _{1} ^{2}   }= \sqrt{ \frac{1}{2} a^{2}+a^{2}   }=a \sqrt{ \frac{3}{2} };


Пусть AH=x;HC1=AC1-x;

Выразим ОН из двух треугольников.
OH ^{2}=AO ^{2}-AH^{2}  =OC _{1} ^{2}-HC _{1}   ^{2};
 \frac{1}{2} a^{2}-  x^{2}= \frac{3}{2}   a^{2}-(a \sqrt{3}-x ) ^{2};
 a^{2}+  x^{2}-3  a^{2}+2ax \sqrt{3}-  x^{2} =0;
2ax \sqrt{3}=2 a^{2};x= \frac{a}{ \sqrt{3} };

OH= \sqrt{ \frac{1}{2} a^{2}- \frac{1}{3} a^{2}   } = \frac{a}{ \ \sqrt{6}  } .


Ответ  \frac{a}{ \sqrt{6} }
Извини, с редактором формул я пока не управляюсь, поэтому часть решения добавляю заново.
спасибо Вам большое!!!вы мне очень помогли!!!!!!