Через вершину А треугольника АBC к стороне BC проведены прямые AD и AE. Одна из них образует со стороной AB угол,равный углу C,а другая со стороной AC угол,равный углу B. Докажите,что треугольник ADE равнобедренный.

1

Ответы и объяснения

2013-09-13T14:17:20+04:00
Пусть \angle BAD = \angle C = \gamma,  \angle EAC = \angle B =  \beta .
Из треугольника ABD \angle BDA = 180 ^{\circ} - (\angle BAD + \angle B) = 180^{\circ} - (\gamma + \beta).
Из треугольника CAE \angle AEC= 180 ^{\circ} - (\angle C+ \angle EAC) = 180^{\circ} - (\gamma + \beta).

Рассмотрим треугольник ADE. Так как углы BDA и ADE - смежные, то
\angle ADE= 180 ^{\circ} - \angle BDA = 180^{\circ} - (180^{\circ}-(\gamma + \beta)) = \gamma + \beta.
Аналогично, углы AEC и AED - смежные, значит, и 
\angle AED= 180 ^{\circ} - \angle AEC = 180^{\circ} - (180^{\circ}-(\gamma + \beta)) = \gamma + \beta.
Получаем равные значения для углов ADE и AED, что позволяет нам сделать вывод - треугольник ADE - равнобедренный.