Решите уравнение

(x-3)^4 + (x+1)^4=100

Найдите значения выражения

\sqrt{7-3\sqrt{5}}*(3+\sqrt{5})-(\sqrt{2}-3)^4-134\sqrt{2}

Докажите, что число

\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}

является иррациональным

1

Ответы и объяснения

  • vajny
  • главный мозг
2011-08-16T09:07:21+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

1. Сделаем замену переменной: t = x-1    (x=t+1).

Тогда получим уравнение:

(t-2)^4+(t+2)^4=100,\ \ \ \ (t^2-4t+4)^2+(t^2+4t+4)^2=100,

t^4-8t^3+16t^2+8t^2-32t+t^4+8t^3+16t^2+8t^2+32t-68=0,

t^4+24t^2-34=0,\ \ \ D=712,\ \ \ t^2=\sqrt{178}-12.

Другой корень - отрицателен - не подходит.

Отсюда получаем два значения t:

t_{1}=\sqrt{\sqrt{178}-12},\ \ \ \ t_{2}=-\sqrt{\sqrt{178}-12}.

Соответственно находим х:

Ответ:

x_{1}=1+\sqrt{\sqrt{178}-12},\ \ \ \ x_{2}=1-\sqrt{\sqrt{178}-12}.

 

2.\sqrt{7-3\sqrt{5}}*(3+\sqrt{5})-(\sqrt{2}-3)^4-134\sqrt{2}=

=\sqrt{(3+\sqrt{5})^2(7-3\sqrt{5})}-(3-\sqrt{2})^4-134\sqrt{2}=

=\sqrt{(14+6\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})}-(11-6\sqrt{2})^2-134\sqrt{2}=

=\sqrt{98-90+42\sqrt{5}-42\sqrt{5}}-(121-132\sqrt{2}+72)-134\sqrt{2}=

=2\sqrt{2}-193+132\sqrt{2}-134\sqrt{2}=-193.

Ответ: -193.

3. Могу предложить следующее доказательство:

Если мы докажем, что разность указанных кубических корней - число иррациональное, то и сумма их - также число иррациональное. (может это спорное утверждение, но мне кажется очевидным)....Итак:

Предположим, что:

\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}-\sqrt[3]{4-\sqrt15}=r

где r - заведомо рациональное число  (ведем док-во от противного)

Возведем обе части в куб. Если обе части выражения - рациональны, то возведение в куб на рациональность не повлияет.

4+\sqrt15-3\sqrt[3]{(4+\sqrt15)^2(4-\sqrt15)}+3\sqrt[3]{(4+\sqrt15)(4-\sqrt15)^2}-4+\sqrt15=

=2\sqrt15-3(\sqrt[3]{4+\sqrt15}-\sqrt[3]{4-\sqrt15})=r^3

Видим, что выражение в скобках - равно r. Получим в итоге:

r^3+3r=2\sqrt15

Слева - рациональное число, справа - заведомо иррациональное. Противоречие. Значит исходное предположение неверно.

Поэтому: исходное выражение - иррационально. Что и требовалось доказать.