Вычислить определенный интеграл от функции e^cx cosωx на отрезке [a,b], где a=[π/ω, b=π/2ω].

c=4; ω=7

2

Ответы и объяснения

2011-08-09T15:49:00+04:00

Интеграл берется двукратным последовательным интегрированием по частям. 1-раз u(x)=e^cx; dv=(cosωx)dx;

2-й раз u1(x)=(c/ω)*e^cx;dv=(sinωx)dx;

с последующим упрощением выражения ( приведение подобных членов).

Определенный интеграл вычисляется из неопределенного путем вычитания

его значения при нижней границе из значения при верхней границе интегрирования.

  Ответ в общем виде таков:

\frac{\omega}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/2*\omega}+\frac{c}{(c^2)+(\omega^2)}*e^{\pi*c/\omega}

 

После подстановки конкретных значений "с" и "омега", имеем:

 

(4/65)* e^((4/7)*pi)+(7/65)*e^((2/7)*pi) = 0,63475

 

  • vajny
  • главный мозг
2011-08-09T21:46:11+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Пока займемся вычислением неопр. интеграла:

I = \int{e^{cx}coswx}\, dx\ =\ \frac{1}{c}\int{coswx}\, de^{cx}\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c}\int{e^{cx}sinwx}\, dx\ =\\\ =\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ -\ \frac{w}{c^2}\int{sinwx}\, de^{cx}\ =

=\ \frac{1}{c}e^{cx}coswx\ +\ \frac{w}{c^2}e^{cx}sinwx\ -\ \frac{w^2}{c^2}*\ I

Отсюда находим I:

I\ =\ \frac{e^{cx}(c*coswx+w*sinwx)}{c^2+w^2}

Подставив значения с и w:

I\ =\ \frac{e^{4x}(4cos7x+7sin7x)}{65}

Теперь найдем значение интеграла от П/w до П/2w:

I\ =\ \frac{e^{2\pi/7}(7+4e^{2\pi/7})}{65}