Дана трапеция ABCD,основание которой BC=44,AD=100,AB=CD=35.Окружность, касающаяся прямыхAD и AC ,касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK

1

Ответы и объяснения

  • vajny
  • главный мозг
2011-08-08T05:01:51+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Проведем дополнительно высоту СМ. Так как трапеция ранобедренная, очевидно, что отрезок DM = (AD-BC)/2 = 28. Тогда из прям. тр-ка CDM:

СМ = кор(CD^2-MD^2) = кор(35^2 - 28^2) = 21.

Теперь рассмотрим прям. тр-ик АСМ: В нем АМ = AD-MD = 100-28=72

Найдем АС: АС = кор(АМ^2 + CM^2) = кор( 72^2 + 21^2) = 75.

 Итак в треуг. АСD известны все стороны: AC = 75, CD = 35, AD = 100.

Найдем cosACD = cosx = (AC^2 + CD^2 - AD^2)/(2*AC*CD) (по теореме косинусов).

cosx = (75^2 + 35^2 - 100^2) / (2*75*35) = - 0,6  (угол ACD - тупой), тогда:

sinx = кор(1-cos^2(x)) = 0,8, тогда по известной формуле тригонометрии найдем тангенс половинного угла:

tg(x/2) = sinx / (1+ cosx) = 0,8/0,4 = 2,                       (1)

Центр О вписанной в ACD окружности лежит на т. пересечения биссектрис углов тр. ACD. ОК перпенд. CD (ОК = r - радиус впис. окр), СК = ?

Из прям. тр-ка СОК: СК = r/(tg(x/2)).                            (2)

Найдем r:

Найдем сначала площадь тр-ка ACD:

S = (1/2)AC*CD*sinx = (75*35*0,8)/2 = 1050

С другой стороны S = pr, где р = (100+75+35)/2 = 105 - полупериметр.

Находим r, приравняв выражения для площадей:

105r = 1050

r = 10                                                                           (3)

Подставив (1) и (3) в (2), получим искомое значение СК:

СК = 10/2 = 5

Ответ: 5